利率上下限期权

        对于一个金融产品而言，定价是其核心中的核心。对于期权来说，我们知道有业内大名鼎鼎的Black-Scholes model以及二叉树Binomial model。但是由于国内目前银行间市场本外币市场的期权都是欧式期权，因此二叉树不适用此类产品定价，而我们知道Black-Scholes假设资产价格表动服从一个几何布朗运动，而利率并不能用几何布朗运动来模拟（因为利率不可能无限上升以及其路径上存在跳点），因此BS模型也不适合用来定价。此前因为市场产品的空缺所以并没有研究过该类产品的定价，于是我又回去翻了一下John C. Hull的《option, future and other derivatives》，终于在chapter 29找到了interest rate cap and floor。

        定价使用的模型是Black model (说到这个，我每次在Google搜索Black model的时候总会给我展示一堆黑人模特哈哈哈)，需要做一点延伸处理：

        首先假设存在本金为L的一个cap，它的payoff并不是在reset day支付，而是在下一个支付日，因此k+1期的payoff为：

                                        L*δ_k *max{ F_k-K , 0 }         其中δ_k是的时间长度(以年为单位)。

        再把上式折为现值，这样payoff就变成了当前0时刻的现值，再套用black formula，就可以得到cap的定价公式:                  

Lδ_k P(0, t_k+1) [F_k N(d1) – K N(d2)]

        其中F_k是0时刻t_k到t _k+1区间的远期利率(与标准black formula中的期货价格对应)。

        相应的Floor定价公式为：Lδ_k P(0, t_k+1) [K N(-d2) – F_k N(-d1)]

        有了IR option的定价公式，下面做个案例，计算期限3个月，1年后开始的LPR caplet的期权价值，本金10M，定息频率每季度，执行价4.10%，波动率20%，无风险利率=2.55%。

        L=10, δ_k= 0.25, K=0.0410, t_k=1, t_k+1=1.25, p(0,t_k+1)=exp(-0.0255*1.25)=0.9686, σ_t=0.20

       注意，这里的Cap cover的是1年后的LPY，因此我们需要求LPR的1.00-1.25的远期利率。因为LPR只有1Y和5Y有报价，而计算远期利率需要其他期限，这里我们对于1年期以下的期限，利率取1Y值，对于超过1年期的利率我们采用线性插值法依次得到各期限利率(注：1Y LPR=4.15% ，5Y LPR=4.8%) 。计算得1.25Y利率=4.19%，则F_k=F(1,1.25)=ln[exp(4.19%*1.25)/exp(4.15%*0.25)]/[1.25-0.25]=0.042 。

       根据以上数据，最终计算得：

        d1=0.2205, d2=0.0205.         c=927.36（计算是利用Python代码，具体见评论区）

       以上就是LPR option的定价过程，其中有待商榷的地方是远期利率计算直接使用线性差值法是否科学？可以确认的是如果使用其他指标的利率曲线来计算远期利率肯定是不合理的。最近得到的启发是利用LPR的利率互换曲线来计算远期利率，唯一影响到的是远期利率F_k 的计算，并不影响Black-formula的计算。